Apenas uma semana. Esse foi o tempo que levou para um problema de matemática de 50 anos entrar em colapso depois que uma IA derrubou seu primo mais velho, de 80 anos.
Na semana passada, o modelo inédito da OpenAI chocou a todos. Ele refutou o problema da distância unitária. Uma conjectura proposta pelo matemático húngaro Paul Erdős. Ele a chamou de sua “contribuição mais marcante para a geometria”. Os especialistas passaram décadas sem conseguir decifrá-lo. A pergunta? Quantas conexões de tamanhos semelhantes você consegue desenhar entre pontos em uma superfície plana?
Erdős pensou ter encontrado o teto. A comunidade concordou.
A IA não.
Usando a obscura teoria algébrica dos números, construiu estruturas em dimensões elevadas. Estruturas que os humanos nunca consideraram. O arranjo dos pontos mudou para algo irreconhecível. O número de conexões explodiu para cima. Os matemáticos ficaram surpresos. Alguns pensaram que a conjectura de Erdős era segura até ao dia em que morreram.
Depois de saber que algo pode ser possível, você estará disposto a tentar um pouco.
Thomas Bloom, da Universidade de Manchester, ouviu falar do hack da IA. Ele viu o padrão. Teoria dos números resolvendo geometria? Contra-intuitivo. Mas potente. Ele e os seus colegas aplicaram a mesma lógica a outra afirmação famosa de Erdős. A conjectura do produto da soma. Postado em 1976. Ainda em pé até terça-feira.
Qual é a conjectura do produto da soma?
Imagine um conjunto de números. Você adiciona todos os pares. Então você multiplica todos os pares. Surgem dois novos conjuntos. Erdős aposta que um desses novos conjuntos terá que ser enorme. Muito maior que o original. Você não pode fazer com que ambos permaneçam pequenos.
Pense de 1 a 5. A multiplicação vence. 1+4 e 2+3 são iguais a 5. As duplicatas reduzem o conjunto de soma. A multiplicação espalha tudo mais.
Mude a entrada. Use potências de dois. 1, 2, 04, 08, 16. Agora a adição cria totais distintos. A multiplicação apenas produz mais potências. A soma definiu balões.
Erdős estabeleceu o padrão de quão “pequeno” o conjunto maior poderia ser. Ele afirmou que isso era válido para qualquer set.
Bloom quebrou a barra.
Não com geometria complexa. Com dimensões elevadas. Ao criar uma progressão numérica em múltiplas dimensões simultaneamente, ele encontrou um conjunto onde tanto as somas quanto os produtos permaneciam pequenos. Menor do que o permitido por Erdős.
“A construção é tão simples”, admitiu Bloom.
Muito simples.
Misha Rudnev, da Universidade de Bristol, chamou isso de esporte de contato. Quando uma nova ideia surge, bons matemáticos ficam sem sono. Eles encontram aplicativos rapidamente. Rudnev observa que Erdős originalmente adivinhou que essa lógica funcionava para inteiros. Números inteiros.
A prova humana se sustenta aí?
Sim. Bloom concorda. O sistema numérico exótico que sua equipe usou fica extremamente complicado à medida que o conjunto cresce. Os números inteiros ainda são seguros. O mistério permanece intacto para a matemática padrão. Mas a conjectura geral? Morto.
A verdadeira conclusão não é a resposta. É a porta que a IA abriu. Problemas que parecem geométricos podem, na verdade, precisar da teoria dos números.
Quem resolve a geometria? Geômetros. Quem resolve a teoria dos números? Algebristas. Eles raramente falam. Agora eles precisam.
Uma comunidade totalmente nova acabou de acordar. E a matemática ainda não terminou.
