Усього тиждень. Стільки знадобилося, щоб звалилася 50-річна математична проблема, відразу після того, як штучний інтелект спростував її старішу «родичку», якій було 80 років.
Минулого тижня ще не випущена модель OpenAI вразила всіх. Вона спростувала проблему одиничних відстаней (unit distance problem). Це була гіпотеза, запропонована угорським математиком Паулем Ердешем, який називав її своїм «найпомітнішим внеском у геометрію». Експерти десятиліттями намагалися її вирішити, але безуспішно. У чому сутність питання? Скільки зв’язків однакового розміру можна провести між точками на площині?
Ердеш вважав, що знайшов верхню межу. Спільнота з ним погодилася.
Штучний інтелект – ні.
Використовуючи маловідомі аспекти теорії чисел алгебри, ІІ побудував структури в багатовимірному просторі. Структури, про які люди навіть не замислювалися. Розташування точок трансформувалося у щось невпізнанне. Кількість зв’язків різко зросла. Математики були приголомшені. Дехто вважав, що гіпотеза Ердеша буде непорушною до кінця їхніх днів.
«Коли ти розумієш, що може бути можливим, ти готовий спробувати ще трохи».
Томас Блум з Манчестерського університету дізнався про цей «злом», здійснений ІІ. Він побачив закономірність. Розв’язання геометричної задачі за допомогою теорії чисел? Контринтуїтивно. Але ефективно. Він та його колеги застосували ту ж логіку до іншої знаменитої гіпотези Ердеша. Гіпотеза про суму та добуток. Запропоновано у 1976 році. Вона простояла до вівторка.
Що таке гіпотеза про суму та добуток?
Уявіть собі багато чисел. Ви складаєте кожну пару чисел. Потім ви множите кожну пару. З’являються дві нові множини. Ердеш стверджував, що одна з цих нових множин має бути масивною. Значно більшим, ніж вихідне. Обидва не можуть залишатись маленькими.
Допустимо, числа від 1 до 5. Тут перемагає множення. 1+4 та 2+3 обидві рівні 5. Дублікати зменшують безліч сум. Множення ж розподіляє все ширше.
Змінимо вступні дані. Використовуємо ступеня двійки. 1, 2, 4, 8, 16. Тепер додавання створює унікальні суми. Множення просто дає нові ступені. Безліч сум розростається.
Ердеш встановив поріг того, наскільки «маленьким» могла бути більша з цих множин. Він стверджував, що це правило працює для будь-якої множини.
Блум зруйнував цей поріг.
Чи не за допомогою складної геометрії. За допомогою багатовимірності. Створюючи числову прогресію у кількох вимірах одночасно, знайшов безліч, де й суми, і твори залишалися невеликими. Меншими, ніж припускав Ердеш.
“Побудова настільки проста”, – зізнався Блум.
Справді просте.
Михайло Руднєв із Брістольського університету назвав це контактним видом спорту. Коли з’являється нова ідея, хороші математики працюють без сну. Вони швидко знаходять програми. Руднєв зазначає, що Ердеш спочатку припускав, що ця логіка працює для цілих чисел.
Чи діє доказ людини у цьому випадку?
Так. Блум згоден. Екзотична система чисел, яку використовувала його команда, стає неймовірно складною зі зростанням множини. Цілі числа все ще у безпеці. Таємниця залишається недоторканою для стандартної математики. Але ж загальна гіпотеза? Мертва.
Головний висновок – не у відповіді. А у двері, які відчинив ІІ. Завдання, які здаються геометричними, насправді можуть вимагати теорії чисел.
Хто розв’язує задачі з геометрії? Геометри. Хто розв’язує задачі з теорії чисел? Алгебраїсти. Вони рідко спілкуються. Тепер їм доведеться.
Ціла нова спільнота тільки прокинулася. А математика ще не перестала ламатися.
