Tylko tydzień. Tyle czasu zajęło załamanie się 50-letniego problemu matematycznego zaraz po tym, jak sztuczna inteligencja obaliła jego starszego „krewnego”, który miał 80 lat.
W zeszłym tygodniu nieopublikowany jeszcze model OpenAI zadziwił wszystkich. Obaliła problem odległości jednostkowej. Tę hipotezę zaproponował węgierski matematyk Paul Erdős, który nazwał ją swoim „najbardziej znaczącym wkładem w geometrię”. Eksperci od dziesięcioleci próbują rozwiązać ten problem, ale bezskutecznie. Jaka jest istota pytania? Ile połączeń tego samego rozmiaru można narysować pomiędzy punktami na płaszczyźnie?
Erdős uważał, że znalazł górną granicę. Społeczność zgodziła się z nim.
Sztuczna inteligencja – nie.
Wykorzystując mało znane aspekty algebraicznej teorii liczb, sztuczna inteligencja zbudowała struktury w przestrzeni wielowymiarowej. Struktury, o których ludzie nawet nie pomyśleli. Położenie kropek zmieniło się w coś nie do poznania. Ilość połączeń wzrosła drastycznie. Matematycy byli zdumieni. Niektórzy wierzyli, że hipoteza Erdősa pozostanie niewzruszona do końca swoich dni.
„Kiedy zdasz sobie sprawę, że coś może być możliwe, jesteś skłonny spróbować trochę więcej”.
O tym „hackowaniu” dokonanym przez sztuczną inteligencję dowiedział się Thomas Bloom z Uniwersytetu w Manchesterze. Zobaczył wzór. Rozwiązujesz problem geometryczny za pomocą teorii liczb? Sprzeczne z intuicją. Ale skuteczny. On i jego koledzy zastosowali tę samą logikę do innej słynnej hipotezy Erdősa. Przypuszczenie na temat sumy i iloczynu. Zaproponowany w 1976 r. Pozostał do wtorku.
Jaka jest hipoteza sumy i iloczynu?
Wyobraź sobie wiele liczb. Dodajesz każdą parę liczb. Następnie mnożysz każdą parę. Pojawiają się dwa nowe zestawy. Erdős argumentował, że jeden z tych nowych zestawów musi być masywny. Znacznie większy od oryginału. Jedno i drugie nie może pozostać małe.
Powiedzmy, że są to liczby od 1 do 5. Tutaj wygrywa mnożenie. 1+4 i 2+3 równają się 5. Duplikaty redukują wiele sum. Mnożenie rozprzestrzenia się coraz szerzej.
Zmieńmy dane wejściowe. Używamy potęgi dwójki. 1, 2, 4, 8, 16. Dodawanie tworzy teraz unikalne sumy. Mnożenie po prostu daje nowe moce. Wiele sum rośnie.
Erdős ustalił próg określający, jak „mały” może być większy z tych zestawów. Twierdził, że ta reguła działa dla dowolnego zbioru.
Bloom zniszczył ten próg.
Nie ze skomplikowaną geometrią. Korzystanie z wielowymiarowości. Tworząc jednocześnie postęp liczbowy w kilku wymiarach, znalazł zbiór, w którym zarówno sumy, jak i iloczyny pozostały małe. Mniejszy niż dozwolony Erdős.
„Konstrukcja jest niezwykle prosta” – przyznał Bloom.
Naprawdę proste.
Misha Rudnev z Uniwersytetu w Bristolu nazwała to sportem kontaktowym. Kiedy pojawia się nowy pomysł, dobrzy matematycy pracują bez snu. Szybko znajdują aplikacje. Rudnev zauważa, że Erdős pierwotnie założył, że ta logika będzie działać w przypadku liczb całkowitych.
Czy w tym przypadku ludzki dowód zadziała?
Tak. Bloom zgadza się. Egzotyczny system liczbowy, którego używał jego zespół, staje się niezwykle złożony w miarę powiększania się zestawu. Liczby całkowite są nadal bezpieczne. Tajemnica pozostaje nietknięta przez standardową matematykę. Ale ogólna hipoteza? Martwy.
Główny wniosek nie jest odpowiedzią. I w drzwiach, które otworzyła AI. Problemy, które wydają się geometryczne, w rzeczywistości mogą wymagać teorii liczb.
Kto rozwiązuje problemy z geometrią? Geometry. Kto rozwiązuje problemy teorii liczb? Algebraiści. Rzadko się komunikują. Teraz będą musieli.
Właśnie obudziła się zupełnie nowa społeczność. A matematyka jeszcze się nie skończyła.
