Всего неделя. Столько потребовалось, чтобы рухнула 50-летняя математическая проблема, сразу после того, как искусственный интеллект опроверг её более старую «родственницу», которой было 80 лет.
На прошлой неделе ещё не выпущенная модель от OpenAI поразила всех. Она опровергла проблему единичных расстояний (unit distance problem). Это была гипотеза, предложенная венгерским математиком Паулем Эрдёшем, который называл её своим «самым заметным вкладом в геометрию». Эксперты десятилетиями пытались её решить, но безуспешно. В чём суть вопроса? Сколько связей одинакового размера можно провести между точками на плоскости?
Эрдёш полагал, что нашёл верхнюю границу. Сообщество с ним согласилось.
Искусственный интеллект — нет.
Используя малоизвестные аспекты теории алгебраических чисел, ИИ построил структуры в многомерном пространстве. Структуры, о которых люди даже не задумывались. Расположение точек трансформировалось во что-то неузнаваемое. Количество связей резко возросло. Математики были ошеломлены. Некоторые считали, что гипотеза Эрдёша будет незыблемой до конца их дней.
«Когда ты понимаешь, что что-то может быть возможным, ты готов попробовать ещё немного».
Томас Блум из Манчестерского университета узнал об этом «взломе», совершенном ИИ. Он увидел закономерность. Разрешение геометрической задачи с помощью теории чисел? Контринтуитивно. Но эффективно. Он и его коллеги применили ту же логику к другой знаменитой гипотезе Эрдёша. Гипотезе о сумме и произведении. Предложенной в 1976 году. Она простояла до вторника.
Что такое гипотеза о сумме и произведении?
Представьте себе множество чисел. Вы складываете каждую пару чисел. Затем вы перемножаете каждую пару. Появляются два новых множества. Эрдёш утверждал, что одно из этих новых множеств должно быть массивным. Значительно большим, чем исходное. Оба не могут оставаться маленькими.
Допустим, числа от 1 до 5. Здесь побеждает умножение. 1+4 и 2+3 обе равны 5. Дубликаты уменьшают множество сумм. Умножение же распределяет всё шире.
Сменим вводные данные. Используем степени двойки. 1, 2, 4, 8, 16. Теперь сложение создаёт уникальные суммы. Умножение просто даёт новые степени. Множество сумм разрастается.
Эрдёш установил порог того, насколько «маленьким» могло быть большее из этих множеств. Он утверждал, что это правило работает для любого множества.
Блум разрушил этот порог.
Не с помощью сложной геометрии. С помощью многомерности. Создавая числовую прогрессию в нескольких измерениях одновременно, он нашёл множество, где и суммы, и произведения оставались небольшими. Меньшими, чем допускал Эрдёш.
«Построение настолько простое», — признался Блум.
Действительно простое.
Миша Руднев из Бристольского университета назвал это контактным видом спорта. Когда появляется новая идея, хорошие математики работают без сна. Они быстро находят приложения. Руднев отмечает, что Эрдёш изначально предполагал, что эта логика работает для целых чисел.
Действует ли доказательство человека в этом случае?
Да. Блум согласен. Экзотическая система чисел, которую использовала его команда, становится невероятно сложной по мере роста множества. Целые числа всё ещё в безопасности. Тайна остаётся нетронутой для стандартной математики. Но общая гипотеза? Мёртва.
Главный вывод — не в ответе. А в двери, которую открыл ИИ. Задачи, кажущиеся геометрическими, на самом деле могут требовать теории чисел.
Кто решает задачи по геометрии? Геометры. Кто решает задачи по теории чисел? Алгебраисты. Они редко общаются. Теперь им придётся.
Целое новое сообщество только проснулось. А математика ещё не закончила ломаться.
