Slechts een week. Zo lang duurde het voordat een 50 jaar oud wiskundeprobleem instortte nadat een AI zijn oudere, 80-jarige neef had uitgeschakeld.
Vorige week schokte het nog niet uitgebrachte model van OpenAI iedereen. Het weerlegde het probleem van de eenheidsafstand. Een vermoeden voorgesteld door de Hongaarse wiskundige Paul Erdős. Hij noemde het zijn ‘meest opvallende bijdrage aan de geometrie’. Deskundigen zijn er tientallen jaren lang niet in geslaagd het te kraken. De vraag? Hoeveel verbindingen van vergelijkbare grootte kun je tekenen tussen punten op een plat vlak?
Erdős dacht dat hij het plafond had gevonden. De gemeenschap was het daarmee eens.
De AI deed dat niet.
Met behulp van de obscure algebraïsche getaltheorie bouwde het structuren in hoge dimensies. Structuren waar mensen nooit aan hebben gedacht. De rangschikking van de punten veranderde in iets onherkenbaars. Het aantal aansluitingen explodeerde omhoog. Wiskundigen waren verbijsterd. Sommigen dachten dat het vermoeden van Erdős veilig was tot de dag dat ze stierven.
Als je eenmaal weet dat iets mogelijk is, ben je bereid een beetje te proberen.
Thomas Bloom van de Universiteit van Manchester hoorde over de hack van de AI. Hij zag het patroon. Getaltheorie die de meetkunde oplost? Contra-intuïtief. Maar krachtig. Hij en zijn collega’s hebben diezelfde logica toegepast op de andere beroemde bewering van Erdős. Het somproduct-vermoeden. Geplaatst in 1976. Staat nog tot dinsdag.
Wat is het somproductvermoeden?
Stel je een reeks getallen voor. Je telt elk paar bij elkaar op. Vervolgens vermenigvuldig je elk paar met elkaar. Er ontstaan twee nieuwe sets. Erdős durft te wedden dat een van deze nieuwe sets enorm moet zijn. Veel groter dan het origineel. Je kunt niet allebei klein blijven.
Denk 1 tot en met 5. Vermenigvuldiging wint. 1+4 en 2+3 zijn beide gelijk aan 5. Duplicaten verkleinen de somset. Vermenigvuldiging verspreidt alles verder.
Schakel de ingang om. Gebruik machten van twee. 1, 2, 04, 08, 16. Nu creëert optelling verschillende totalen. Vermenigvuldigen levert alleen maar meer machten op. De som set ballonnen.
Erdős legde de lat voor hoe “klein” de grotere set mogelijk zou kunnen zijn. Hij beweerde dat dit voor elke set gold.
Bloom brak de lat.
Niet met complexe geometrie. Met hoge afmetingen. Door tegelijkertijd een numerieke progressie over meerdere dimensies te creëren, vond hij een set waarin zowel de sommen als de producten klein bleven. Kleiner dan Erdős toegestaan.
“De constructie is zo eenvoudig”, gaf Bloom toe.
Heel eenvoudig.
Misha Rudnev van de Universiteit van Bristol noemde het een contactsport. Wanneer een nieuw idee opduikt, hebben goede wiskundigen geen slaap meer. Ze vinden toepassingen snel. Rudnev merkt op dat Erdős oorspronkelijk vermoedde dat deze logica werkte voor gehele getallen. Hele getallen.
Houdt het menselijke bewijs stand?
Ja. Bloom is het daarmee eens. Het exotische getallensysteem dat zijn team gebruikte, wordt enorm ingewikkeld naarmate de set groeit. Gehele getallen zijn nog steeds veilig. Het mysterie blijft intact voor standaard wiskunde. Maar het algemene vermoeden? Dood.
De echte afhaalmaaltijd is niet het antwoord. Het is de deur die de AI heeft geopend. Problemen die er geometrisch uitzien, hebben misschien wel getaltheorie nodig.
Wie lost de geometrie op? Meetkundigen. Wie lost de getaltheorie op? Algebraïsten. Ze praten zelden. Nu moeten ze wel.
Er is zojuist een hele nieuwe gemeenschap wakker geworden. En de wiskunde is nog niet klaar met breken.
