Solo una settimana. Questo è il tempo impiegato perché un problema di matematica vecchio di 50 anni crollasse dopo che un’intelligenza artificiale aveva eliminato il suo cugino più vecchio di 80 anni.
La scorsa settimana, il modello inedito di OpenAI ha scioccato tutti. Ha smentito il problema della distanza unitaria. Una congettura proposta dal matematico ungherese Paul Erdős. Lo definì il suo “contributo più sorprendente alla geometria”. Gli esperti hanno trascorso decenni senza riuscire a risolverlo. La domanda? Quante connessioni di dimensioni simili puoi tracciare tra punti su un piano piatto?
Erdős pensava di aver trovato il soffitto. La comunità è stata d’accordo.
L’intelligenza artificiale no.
Usando l’oscura teoria algebrica dei numeri, costruì strutture di dimensioni elevate. Strutture che gli esseri umani non hanno mai considerato. La disposizione dei punti si è trasformata in qualcosa di irriconoscibile. Il numero di connessioni è esploso al rialzo. I matematici erano sbalorditi. Alcuni pensavano che la congettura di Erdős fosse sicura fino al giorno della loro morte.
Una volta che sai che qualcosa potrebbe essere possibile, sei disposto a provare un po’.
Thomas Bloom dell’Università di Manchester ha sentito parlare dell’hacking dell’intelligenza artificiale. Ha visto lo schema. Teoria dei numeri che risolve la geometria? Controintuitivo. Ma potente. Lui e i suoi colleghi hanno applicato la stessa logica all’altra famosa affermazione di Erdős. La congettura del prodotto-somma. Inserito nel 1976. Ancora in piedi fino a martedì.
Qual è la congettura del prodotto-somma?
Immagina un insieme di numeri. Aggiungi ogni coppia insieme. Quindi moltiplichi ogni coppia insieme. Emergono due nuovi set. Erdős scommette che uno di questi nuovi set dovrà essere enorme. Molto più grande dell’originale. Non puoi far sì che entrambi restino piccoli.
Pensa da 1 a 5. La moltiplicazione vince. 1+4 e 2+3 equivalgono entrambi a 5. I duplicati riducono la somma impostata. La moltiplicazione disperde tutto in modo più ampio.
Cambia l’ingresso. Usa le potenze di due. 1, 2, 04, 08, 16. Ora l’addizione crea totali distinti. La moltiplicazione crea solo più poteri. La somma fissa i palloncini.
Erdős ha stabilito il livello di quanto “piccolo” potrebbe essere il set più grande. Affermò che ciò valeva per qualsiasi set.
Bloom ha rotto l’asticella.
Non con geometrie complesse. Di dimensioni elevate. Creando una progressione numerica su più dimensioni contemporaneamente, trovò un insieme in cui sia le somme che i prodotti rimanevano piccoli. Più piccolo di quanto consentito da Erdős.
“La costruzione è così semplice”, ha ammesso Bloom.
Davvero semplice.
Misha Rudnev dell’Università di Bristol lo ha definito uno sport di contatto. Quando una nuova idea nasce, i bravi matematici dormono zero. Trovano rapidamente le applicazioni. Rudnev nota che Erdős originariamente aveva immaginato che questa logica funzionasse per interi. Numeri interi.
La prova umana regge lì?
SÌ. Bloom è d’accordo. L’esotico sistema di numeri utilizzato dalla sua squadra diventa estremamente complicato man mano che il set cresce. I numeri interi sono ancora al sicuro. Il mistero rimane intatto per la matematica standard. Ma la congettura generale? Morto.
La vera conclusione non è la risposta. È la porta che l’intelligenza artificiale ha aperto. I problemi che sembrano geometrici potrebbero in realtà richiedere la teoria dei numeri.
Chi risolve la geometria? Geometri. Chi risolve la teoria dei numeri? Algebristi. Parlano raramente. Adesso devono farlo.
Una comunità completamente nuova si è appena svegliata. E i conti non hanno ancora finito di fare i conti.
