Sólo una semana. Ese es el tiempo que tardó en colapsar un problema matemático de 50 años después de que una IA derribara a su primo mayor de 80 años.
La semana pasada, el modelo inédito de OpenAI sorprendió a todos. Refutó el problema de distancia unitaria. Una conjetura propuesta por el matemático húngaro Paul Erdős. Lo llamó su “contribución más sorprendente a la geometría”. Los expertos pasaron décadas sin lograr descifrarlo. ¿La pregunta? ¿Cuántas conexiones de tamaño similar puedes dibujar entre puntos en un plano?
Erdős creyó haber encontrado el techo. La comunidad estuvo de acuerdo.
La IA no lo hizo.
Utilizando la oscura teoría algebraica de números, construyó estructuras de grandes dimensiones. Estructuras que los humanos nunca consideraron. La disposición de los puntos se convirtió en algo irreconocible. El número de conexiones se disparó. Los matemáticos quedaron atónitos. Algunos pensaron que la conjetura de Erdős era segura hasta el día de su muerte.
Una vez que sabes que algo podría ser posible, estás dispuesto a intentarlo un poco.
Thomas Bloom, de la Universidad de Manchester, se enteró del hackeo de la IA. Vio el patrón. ¿Teoría de números resolviendo geometría? Contraintuitivo. Pero potente. Él y sus colegas aplicaron esa misma lógica a la otra famosa afirmación de Erdős. La conjetura suma-producto. Publicado en 1976. Sigue en pie hasta el martes.
¿Qué es la conjetura de la suma-producto?
Imaginemos un conjunto de números. Sumas cada par. Luego multiplicas cada par. Surgen dos nuevos conjuntos. Erdős apuesta a que uno de estos nuevos conjuntos tiene que ser enorme. Mucho más grande que el original. No puedes permitir que ambos se queden pequeños.
Piense del 1 al 5. La multiplicación gana. 1+4 y 2+3 son ambos iguales a 5. Los duplicados reducen la suma del conjunto. La multiplicación lo dispersa todo más.
Cambie la entrada. Usa potencias de dos. 1, 2, 04, 08, 16. Ahora la suma crea totales distintos. La multiplicación simplemente genera más poderes. La suma establece globos.
Erdős puso el listón de lo “pequeño” que podría ser el conjunto más grande. Afirmó que esto era válido para cualquier conjunto.
Bloom rompió el listón.
No con geometría compleja. Con altas dimensiones. Al crear una progresión numérica en múltiples dimensiones simultáneamente, encontró un conjunto donde tanto las sumas como los productos permanecían pequeños. Más pequeño de lo que permite Erdős.
“La construcción es muy simple”, admitió Bloom.
Realmente simple.
Misha Rudnev de la Universidad de Bristol lo llamó deporte de contacto. Cuando surge una nueva idea, los buenos matemáticos trabajan sin dormir. Encuentran aplicaciones rápidamente. Rudnev señala que Erdős originalmente supuso que esta lógica funcionaba para enteros. Números enteros.
¿Se sostiene la prueba humana ahí?
Sí. Bloom está de acuerdo. El exótico sistema numérico que utilizó su equipo se vuelve tremendamente complicado a medida que crece el conjunto. Los números enteros todavía están a salvo. El misterio permanece intacto para las matemáticas estándar. ¿Pero la conjetura general? Muerto.
La verdadera conclusión no es la respuesta. Es la puerta que abrió la IA. Los problemas que parecen geométricos en realidad podrían necesitar teoría de números.
¿Quién resuelve la geometría? Geometras. ¿Quién resuelve la teoría de números? Algebristas. Rara vez hablan. Ahora tienen que hacerlo.
Una comunidad completamente nueva acaba de despertar. Y las matemáticas aún no han terminado de fallar.
