Juste une semaine. C’est le temps qu’il a fallu pour qu’un problème de mathématiques vieux de 50 ans s’effondre après qu’une IA ait éliminé son cousin plus âgé de 80 ans.
La semaine dernière, le modèle inédit d’OpenAI a choqué tout le monde. Cela a réfuté le problème de distance unitaire. Une conjecture proposée par le mathématicien hongrois Paul Erdős. Il l’a appelé sa « contribution la plus frappante à la géométrie ». Les experts ont passé des décennies à ne pas réussir à le résoudre. La question ? Combien de connexions de taille similaire pouvez-vous tracer entre des points sur un plan plat ?
Erdős pensait avoir trouvé le plafond. La communauté a accepté.
L’IA ne l’a pas fait.
En utilisant la théorie algébrique obscure des nombres, il a construit des structures en grandes dimensions. Des structures que les humains n’ont jamais envisagées. La disposition des points est devenue quelque chose de méconnaissable. Le nombre de connexions a explosé. Les mathématiciens étaient stupéfaits. Certains pensaient que la conjecture d’Erdős était sûre jusqu’au jour de leur mort.
Une fois que vous savez que quelque chose pourrait être possible, vous êtes prêt à essayer un peu.
Thomas Bloom, de l’Université de Manchester, a entendu parler du piratage de l’IA. Il a vu le modèle. La théorie des nombres résout la géométrie ? Contre-intuitif. Mais puissant. Lui et ses collègues ont appliqué la même logique à l’autre affirmation célèbre d’Erdős. La conjecture somme-produit. Publié en 1976. Toujours debout jusqu’à mardi.
Quelle est la conjecture somme-produit ?
Imaginez un ensemble de nombres. Vous additionnez chaque paire ensemble. Ensuite, vous multipliez chaque paire ensemble. Deux nouveaux ensembles émergent. Erdős parie que l’un de ces nouveaux ensembles devra être massif. Beaucoup plus grand que l’original. Vous ne pouvez pas laisser les deux rester petits.
Pensez de 1 à 5. La multiplication gagne. 1+4 et 2+3 sont tous deux égaux à 5. Les doublons réduisent l’ensemble de la somme. La multiplication disperse tout plus largement.
Changez l’entrée. Utilisez les puissances de deux. 1, 2, 04, 08, 16. L’addition crée désormais des totaux distincts. La multiplication donne simplement plus de pouvoirs. La somme a mis des ballons.
Erdős a placé la barre quant à la « petite » taille du plus grand ensemble. Il a affirmé que cela était valable pour n’importe quel set.
Bloom a cassé la barre.
Pas avec une géométrie complexe. Avec des dimensions élevées. En créant une progression numérique sur plusieurs dimensions simultanément, il a trouvé un ensemble dans lequel les sommes et les produits restent petits. Plus petit que les Erdős autorisés.
“La construction est si simple”, a admis Bloom.
Vraiment simple.
Misha Rudnev de l’Université de Bristol l’a qualifié de sport de contact. Lorsqu’une nouvelle idée tombe, les bons mathématiciens fonctionnent sans sommeil. Ils trouvent rapidement des candidatures. Rudnev note qu’Erdős avait initialement deviné que cette logique fonctionnait pour les entiers. Nombres entiers.
La preuve humaine tient-elle là ?
Oui. Bloom est d’accord. Le système de numérotation exotique utilisé par son équipe devient extrêmement compliqué à mesure que l’extension s’agrandit. Les entiers sont toujours en sécurité. Le mystère reste intact pour les mathématiques standards. Mais la conjecture générale ? Mort.
Le véritable point à retenir n’est pas la réponse. C’est la porte ouverte par l’IA. Les problèmes d’apparence géométrique pourraient en fait nécessiter la théorie des nombres.
Qui résout la géométrie ? Géomètres. Qui résout la théorie des nombres ? Algébristes. Ils parlent rarement. Maintenant, ils doivent le faire.
Une toute nouvelle communauté vient de se réveiller. Et les calculs ne sont pas encore terminés.
