Nur eine Woche. So lange dauerte es, bis eine 50 Jahre alte Matheaufgabe zusammenbrach, nachdem eine KI ihren älteren, 80 Jahre alten Cousin besiegt hatte.
Letzte Woche schockierte das unveröffentlichte Modell von OpenAI alle. Es widerlegte das Einheitsentfernungsproblem. Eine Vermutung des ungarischen Mathematikers Paul Erdős. Er nannte es seinen „herausragendsten Beitrag zur Geometrie“. Experten haben Jahrzehnte damit verbracht, es nicht zu knacken. Die Frage? Wie viele Verbindungen ähnlicher Größe können Sie zwischen Punkten auf einer flachen Ebene zeichnen?
Erdős dachte, er hätte die Decke gefunden. Die Gemeinde stimmte zu.
Die KI tat es nicht.
Mithilfe der obskuren algebraischen Zahlentheorie baute es Strukturen in hohen Dimensionen auf. Strukturen, an die Menschen nie gedacht haben. Die Anordnung der Punkte veränderte sich in etwas Unkenntliches. Die Zahl der Verbindungen explodierte explosionsartig. Die Mathematiker waren fassungslos. Einige hielten Erdős‘ Vermutung bis zu ihrem Tod für sicher.
Sobald Sie wissen, dass etwas möglich sein könnte, sind Sie bereit, es ein wenig zu versuchen.
Thomas Bloom von der Universität Manchester hörte von dem Hack der KI. Er sah das Muster. Zahlentheorie zur Lösung der Geometrie? Kontraintuitiv. Aber stark. Er und seine Kollegen wandten dieselbe Logik auf Erdős‘ andere berühmte Behauptung an. Die Summenprodukt-Vermutung. Gepostet im Jahr 1976. Steht noch bis Dienstag.
Was ist die Summenprodukt-Vermutung?
Stellen Sie sich eine Reihe von Zahlen vor. Sie addieren jedes Paar. Dann multiplizieren Sie jedes Paar miteinander. Es entstehen zwei neue Sets. Erdős wette, dass eines dieser neuen Sets riesig sein muss. Viel größer als das Original. Es kann nicht sein, dass beides klein bleibt.
Denken Sie von 1 bis 5. Multiplikation gewinnt. 1+4 und 2+3 sind beide gleich 5. Duplikate verkleinern die Summenmenge. Die Multiplikation streut alles weiter.
Schalten Sie den Eingang um. Verwenden Sie Zweierpotenzen. 1, 2, 04, 08, 16. Durch Addition werden nun eindeutige Summen erstellt. Multiplikation ergibt einfach mehr Potenzen. Die Summe setzt Luftballons.
Erdős legte die Messlatte dafür fest, wie „klein“ das größere Set möglicherweise sein könnte. Er behauptete, dies gelte für jeden Satz.
Bloom hat die Messlatte gebrochen.
Nicht mit komplexer Geometrie. Mit hohen Abmessungen. Durch die gleichzeitige Erstellung einer numerischen Progression über mehrere Dimensionen hinweg fand er eine Menge, bei der sowohl die Summen als auch die Produkte klein blieben. Kleiner als Erdős erlaubt.
„Die Konstruktion ist so einfach“, gab Bloom zu.
Wirklich einfach.
Misha Rudnev von der University of Bristol nannte es einen Kontaktsport. Wenn eine neue Idee auftaucht, haben gute Mathematiker keine Ruhe. Sie finden schnell Bewerbungen. Rudnev weist darauf hin, dass Erdős ursprünglich vermutete, dass diese Logik für Ganzzahlen funktioniert. Ganze Zahlen.
Hält der menschliche Beweis dort stand?
Ja. Bloom stimmt zu. Das exotische Zahlensystem, das sein Team verwendete, wird mit zunehmender Menge immer komplizierter. Ganzzahlen sind immer noch sicher. Das Rätsel bleibt für die Standardmathematik bestehen. Aber die allgemeine Vermutung? Tot.
Die eigentliche Erkenntnis ist nicht die Antwort. Es ist die Tür, die die KI geöffnet hat. Probleme, die geometrisch aussehen, erfordern möglicherweise tatsächlich die Zahlentheorie.
Wer löst Geometrie? Geometer. Wer löst die Zahlentheorie? Algebraisten. Sie reden selten. Jetzt müssen sie es tun.
Eine ganz neue Community ist gerade aufgewacht. Und die Mathematik ist noch nicht fertig.
